@praktiker hier sind die Möglichkeiten der Fehlersuche sehr begrenzt. Die einzige mir bekannte Möglichkeit ist die Basis oder auch die Mobilteile  in den Werkszustand zurück zusetzen. Wie das funktioniert findest du im Service Portal von Gigaset oder nutze den unteren Link. Die Rückstellung funktioniert auch mit dem A415. Allerdings werden dabei alle Einträge wie auch das gespeicherte Telefonbuch gelöscht.

Sollte dies den Fehler nicht beheben ist von einem internen Schaden im Display auszugehen. Eine Reparaturmöglichkeit wage ich da zu bezweifeln. Zeigt sich der Fehler nur in einem angemeldeten Mobilteil versuch doch soweit vorhanden ein ähnliches Mobilteil an der Basis anzumelden. Mobilteile für das Gigaset A415 mit Ladeschale gibt es z.B. bei Amazon ab 30 Euro aufwärts zu kaufen.

Siemens Gigaset und Basis in Werkseinstellungen setzen A400 C430 - KH EDV SYSTEME (kh2004.de)

@praktiker Wenn Du das Gerät vor Weihnachten gekauft hast, dann ist da doch noch Garantie und gesetzliche Gewährleistung drauf, oder?

Deine Fehlerbeschreibung klingt nach eine Totalausfall des Displays. Das kann eine Kleinigkeit sein (Kontaktproblem des Displays), muss es aber nicht. Solche Fehler sind immer mühsam zu suchen und sehr schlecht zu reparieren. Die meisten einfache LC-Displays selbst sitzen mit so einer Kontaktschwämmchen auf einer Platine, auf der auch die Hintergrundbelechtung sitzt. Ich meine bei einem der beliebten Nokia Handys der 90er war das auch ein Problemfall. 5110 oder 6110, eins von den Beiden. Da hat man dann diesen Verbinder nachkaufen können und das problem damit im Regelfall behoben.

Aber solange man es über Garantie einsenden kann, würde ich das unbedingt machen.

@praktiker mach mal die kontakte vom Telefon sauber und vergleiche die Akkus im Hörer . Dir kontakte zwar unwarscheinlich aber der ladezustand der Akkus warscheinlich !

Ich danke euch für eure Antworten. 

@rupi, ich kann das nachher mal besuchen, obwohl man leider nicht erkennen kann, ob es an oder aus ist, nur an den Tastentöne.

@holger_p, dass ist vielleicht die beste/vernünftigste Lösung, das Gerät einzuschicken und umzutauschen.

@madmax01, der Akku ist wohl i.O., denn das Licht leuchtet ja und die Tastentöne hört man auch. Ich denke, wenn der Akku leer wäre, würde beides nicht funktionieren.

Die Nebenstation funktioniert aber zum Glück einwandfrei und die benutzt meine Mutter hauptsächlich.

Ich habe  mal das Gigaset A415 auf der Gigaseite näher betrachtet. Was auffällt ist das die Basis keinerlei Anzeigen besitzt sondern nur die Mobilteile. Es ist also anzunehmen das der Displayfehler das angemeldete Mobilteil betrifft. Leider konnte ich aus deiner Fehlerschilderung diesen Zustand nicht entnehmen.

Ein Mobilteil von Gigaset zu öffnen kommt einer Zerstörung gleich da diese durch Klammern zusammen gehalten werden und sicher beim gewaltsamen aufhebeln abbrechen. Damit ist ein Garantiefall ausgeschlossen. 

@rupi, öffnen will ich es auch nicht mehr. Mein Bruder war heute noch zu Besuch und dachte dummerweise, dass er es vielleicht durch austauschen der Akkus gegen Batterien beheben könnte, aber natürlich falsch gedacht. Entweder er fährt damit jetzt nach Media Markt zum umtauschen, oder wir müssen damit leben. Die Basis des betroffenen Mobilteils hat auch keine richtige Paging Taste, sondern nur die Tasten des Anrufbeantworter. 

@praktiker Die Geräte können bei Gigaset repariert/getauscht werden. Im einfachsten Fall macht man die Abwicklung über den Verkäufern. Man kann aber auch direkt bei Gigaset anrufen und da einen Servicefall "anmelden". In dem Fall nehme ich an, dass mindestens einmal Versandkosten (zum Hinschicken) anfallen.

Bei Panasonic ist das so ähnlich und nach anfänglicher Skepsis war ich von der Schnelligkeit der Abwicklung bei Panasonic sehr angenehm überascht. Mit Gigaset habe ich noch keine Erfahrung - bislang ging keins kaputt.

https://service.gigaset.com/de/support/home